J ul 2 00 8 TWO HOPF ALGEBRAS OF TREES INTERACTING

— Hopf algebra structures on rooted trees are by now a well-studied object, especially in the context of combinatorics. They are essentially characterized by the coproduct map. In this work we define yet another Hopf algebra H by introducing a new coproduct on a (commutative) algebra of rooted forests, considering each tree of the forest (which must contain at least one edge) as a Feyman-like graph without loops. The primitive part of the graded dual is endowed with a pre-Lie product defined in terms of insertion of a tree inside another. We establish a surprising link between the Hopf algebra H obtained this way and the well-known Connes–Kreimer Hopf algebra of rooted trees HCK by means of a natural H-bicomodule structure on HCK. This enables us to recover results in the field of numerical methods for differential equations due to Chartier, Hairer and Vilmart [9, 10] as well as Murua [26]. Résumé. — Les algèbres de Hopf d’arbres apparaissent fréquemment en combinatoire, en général caractérisées par leur coproduit. Nous en définissons encore une autre en introduisant un coproduit sur une algèbre (commutative) de forêts d’arbres enracinés, en considérant chaque arbre (qui doit contenir au moins une arête) comme un graphe de Feynman sans boucles. L’algèbre de Lie des éléments primitifs du dual gradué est munie d’une structure pré-Lie qui s’exprime en termes d’insertion d’un arbre dans un autre. L’algèbre de Hopf H obtenue de cette manière co-agit à gauche et à droite sur l’algèbre de Hopf de Connes–Kreimer HCK. L’exploration des liens entre les deux algèbres de Hopf permet de retrouver des résultats démontrés par Chartier, Hairer et Vilmart [9, 10] et Murua [26] dans un contexte d’analyse numérique.